Dilation and erosion intro

膨胀与腐蚀法——数学形态学算子

Note at the beginning:

为什么学习这个方法：这个方法是基于2019 Summer Session的学习所需

资源来自何处：谷歌搜索到的资源Chapter 6 Mathematical morphology且只学习了部分内容

其它参考链接：

图像的膨胀与腐蚀、细化

综述

Studied on 1st, July, posted on 3rd.

【数学形态学】

数学形态学是研究形态的学科，用集合的方法来描述某种形态。

它被广泛应用在图像处理上，有两点需要注意：

注意它的算子，尤其是膨胀和腐蚀一般都不是线性的。

它研究的图像上的元素需要满足可比较的序关系，这样才能进行相关的运算。

【The Maxima And Minima Image】

“maximum image” 和 “minimum image”是关于两张图片的定义，即新的图片在某像素点位置的值分别取最大和最小。

$(max\{f, g\})(x) = max\{f(x), g(x)\}$ $(min\{f, g\})(x) = min\{f(x), g(x)\}$

其中$x$即为对应像素点的位置。

在提及膨胀和腐蚀算子之前先要声明它们属于数学形态学算子。

【数学形态学算子】

它描述的是一张图像与一个结构元素之间的关系。结构元素一般比图像小很多，一般是十字形，方形或者圆形的二值区域，也一般取对称的区域。

声明：这篇文章使用资源中的约定，即在提及二值图像的时候，黑色像素指的是目标像素，灰度为1；而白色像素指的是背景像素，灰度为0。

【互补算子】

互补沿用集合论的符号$c$，假设一张图片$X$在像素$(x,y)$位置上的函数值为$f(x,y)$，其范围$range=[L,\cdots,M]$。则$X^c$的对应位置满足$f^c(x,y) = L+M-f(x,y)$。

一个最简单的例子是二值图像黑白颠倒。

【膨胀算子】

一张二值图像$X$与一个结构元素$S$的闵科夫斯基和$\oplus$就是一个膨胀操作：

$\delta(X) = X\oplus S = \{x+s\mid x\in X\ \and\ s\in S\}$

资源里给的例子算得很清楚，是根据位置操作的。
我已经看懂了。但是很容易弄混，建议忘了复习一下。

【腐蚀算子】

它是膨胀算子的对偶算子。一张二值图像$X$与一个结构元素$S$的闵科夫斯基差$\ominus$是一个腐蚀操作：

$\epsilon(X) = X\ominus S = \{x\mid \forall s\in S,\ x+s\in X\}$

资源里给的也是根据位置操作的。
虽然资源里没有说，但是我觉得即使原图像不是二值图像也可以用。

通俗地说：

把图像看作食物，膨胀法相当于在边缘吐出食物，图像会扩大一点点；腐蚀法相当于在边缘吃掉食物，所以图像会缩小一点点。

【算子的对偶】

对偶即dual，两个算子对偶要满足以下式子：

$\{\forall f,\ subject\ to\ \varphi_1(f^c)=(\varphi_2(f))^c\}$

资源里举了两个例子，这里不写，知道这个式子成立即可。

组合算子只介绍膨胀和腐蚀算子的组合，即开闭运算。

【开运算】

开运算Opening定义为$\gamma(f) = \delta(\epsilon(f))$。

先腐蚀再膨胀，就是开运算。开运算能消除小的object即孤立点。

【闭运算】

闭运算Closing定义为$\varphi(f) = \epsilon(\delta(f))$

先膨胀再腐蚀，就是闭运算。同理，闭运算能填充图像中的小洞。

将在ipynb文件中进行研究。

代码及分水岭算法均在3rd, July晚上完成，但尚未上传，计划日后一并上传。