阅读文章AI Poincaré: Machine Learning Conservation Laws from Trajectories
名字挺炫酷，不过看了一遍，觉得可以借鉴的地方不多，见正文方法部分最后一句
AI Poincaré
还是偏物理的，个人觉得不太算CS的文章，有的格式都不一样；只有5页，不过符号不算少，就是证明没有，难道是保密技术？纯粹是兴趣看一看，作者MIT学物理的，不是我，狗头👍。而且可以学习借鉴的地方不多
文献链接：https://arxiv.org/abs/2011.04698
提出的方法叫做 $AI\ Poincar\acute{e}$，是只利用未知动力系统轨线数据自动寻找守恒律的学习算法
优点
- 纯粹数据驱动，从轨线trajectories中学习守恒律
- 自动学习，不手动设计特征，且不加显式的偏置归纳
- 实验优点：哈密顿系统中发现了所有精确的守恒量，而且似乎有一定的解释性：发现了周期轨道，phase transitions和breakdown timescale
认为的缺点：
- 方法在建模比赛中应该是非常有意思的，但是在学习领域，觉得不够味道
- 虽然走纯数据驱动的路子，但是可解释性不足，发现轨道等概念的解释性和我想的不一样
- 方法其实解释得不清楚，只是讲了一遍过程，合理性不足
- 实验结果似乎对不上？没看明白ERD图，难道不是中间有几条线下凸，低于阈值就是发现多少守恒律？文章表格和描述的似乎不一致，我很费解，可能是我菜。。。
Target
文章自述一个宏伟的目标是智能学习物理系统中的规律，如符号回归得到的方程形式、守恒律、对称性，etc，我喜欢。本文的具体target是：从轨线trajectories中学习守恒律。
Idea
一般求守恒律可能要限制方程形式？所以以往方法可能是模型驱动。现在的idea就是表示只用轨线，对方程形式没有任何假设，就是要纯粹数据驱动试试。
具体的思想见建模的过程，本质是概念的对应，实现的方式比较基础
Related Works
用于对比批判的方法：
- 用AE、暹罗网络的正交方法（我自己未验证此方法），可以寻找对称性。缺点是要手动设计（对称性）特征
- 把守恒律作为偏执归纳先验，但这不是纯数据驱动
重点参考的方法：
sampling manifolds方法和动力系统概念的对应（我一直在想这个问题但是想不通。。）看了这篇文章给的对应关系，也只是觉得可能有关系，但是还是没有说清楚概念之间的真正联系，可能还是要看更基础的文章！
Method
看完方法觉得在机器学习的范畴内亮点不多。把方法流程大致过一遍。
首先是模型的基本假设，假定是带有守恒律 $H_j(\mathbf{x})=h_j$ 的方程（真的是守恒律），每条守恒律都看作是一个高维空间（在可操作意义下都是 $\mathbb{R}^{l}$）中的超平面，满足一条守恒律就意味着有一个限制条件（凸分析学的好啊）。本文把所有可行轨线所在的空间看成与满足守恒律的空间一致，称之为可允许状态流形permissible state manifold (PSM) $\mathcal{M}$，且假设轨线数据集 $\mathcal{S}=\{\mathbf{x}(t)|t\geq 0\}$ 都分布在这个流形 $\mathcal{M}$ 上。它定义为
那么每满足一条守恒律，此流形其实就有了一个的限制，相当于在 $\mathbb{R}^N$ 的基础上维度降低一维，如果观察到总维度（应该是提前已知）减去估计出的轨线数据集 $\mathcal{S}$ 的维度不为0，那就是找出了守恒律。
那么第二点是模型怎么算的。第1步是对轨线数据预处理，标准化，这样会有一个协方差矩阵，对角元对应特征值，有特征值就说明找到了重要的维度，初始时的非0特征值个数就应该是上一段说的总维度，然后一旦有特征值在迭代的过程中变得很小，那就是守恒律被发现了，这个维度就对应守恒律。第2步是对轨线数据加噪，干扰之，得到近似的流形（我认为是这样），再蒙特卡洛采样，学习恢复流形的函数，这一步的目的应该想把干扰后的轨线投影到切空间，如果守恒律存在，那么合适的干扰对守恒律会有较大的影响。那么第3步就是把投影后的轨线数据PCA降维处理得到最后的维度，如果降维的过程中发现维度变化很大，说明合适水平的噪声影响到了守恒律。这时根据explained ratio diagram (ERD)（我真不懂这个图怎么对应几条守恒律，因为好像和结果描述的不一致）可看出守恒律有几条。
思路就是这样，有点意思，意思在于干扰影响了守恒律，且合适水平的干扰可以最大影响守恒律；另外就是其实专门去寻找可能存在的守恒律，这一点与流形上有些概念似乎可以对应。私以为本文只有这两点可以借鉴。
Experiments
做了5种有守恒律的哈密顿方程的实验。但是私以为讲得不清楚，因为用ERD看出的守恒律数目和文章描述的似乎不一样😶。也可能是我菜看不出来🤡。。。
参考文献
[1] Ziming Liu and Max Tegmark. AI Poincaré: Machine Learning Conservation Laws from Trajectories. arXiv e-prints, page arXiv:2011.04698, November 2020.