【论文阅读38】重读Learning PDEs for Image Restoration via Optimal Control

近日重读Learning PDEs for Image Restoration via Optimal Control，确认下本文的目标和做法

文献信息

本文Learning PDEs for Image Restoration via Optimal Control是林宙辰老师等人在ECCV2010的文章，引用量没有查，应该不低，毕竟很经典

文献参考链接地址：

• http://www.cvpapers.com/eccv2010.html

• 官方博客：https://zero-lab-pku.github.io/publication/limingjie/eccv10_learning_pdes_for_imge_restoration_via_optimal_control/

• 陆一平的推荐：https://zhuanlan.zhihu.com/p/51514687

文献内容

本文学习PDE的基本目标（和我想得差不多），为图像相关任务自动设计合理的PDE

背景方法有2类，变分方法和直接设计PDE。变分方法的思路是用能量泛函学习图像的先验知识，一般是正则或其它先验模型；直接设计很暴力麻烦，对PDE中算子类型有所要求。两者应该（我的解读）都要保证图像的全局几何性质，对应PDE中的正则先验模型；然后保持一些变换下的不变性，对应各种微分不变量的线性组合

由此，本文的模型，称为可学习PDE（L-PDE），基本的形式如文中$(1)$式：

$$\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \dfrac{\partial u}{\partial t} &= L(u,a) = \kappa(u)+F(u,a),\ (x,y,t)\in Q \\ u &= 0,\ (x,y,t)\in \Gamma \\ u|_{t=0} &= f,\ (x,y)\in \Omega \end{aligned} \right. \tag{1}$$

本文要学习的目标和我想的是一样的，是正常PDE右边的方程，本文把它的形式设置为如上所示的正则先验项和数据驱动的几何不变量项。PDE的边界条件就是图像边界像素（假定填充为0）。式子中前者用的似乎是（我没看过）经典的TV-正则；后者其实很简单，如文中表$(2)$，几何不变量设置了5个，原始图像、输出图像、光滑程度等等。知道是这样做的即可，表格列在这里，细节不多

学习过程就是学习几何不变量的系数，有个目标函数，优化方法是伴随方法+对能量泛函求G导数。。。当场🈚了，这部分还没研究透。。。

优缺点

优点：

• L-PDE的形式可以概括本文之前的很多PDE模型

• 框架不错，模型假设和思路清晰

缺点：

• 个人疑问这几个几何不变量够么？？

• 代码当时未公布，官方博客没给，现在似乎也搜不到。。

和PDE-Net共通之处

本来想和PDE-Net，结果发现以前的博客没有更。。。所以草草记录一下，手头上只有这个笔记：

PDE-Net 的motivation是pde轨线的拟合预测以及微分算子的估计，为此先估计导数再拟合轨线；2.0 的改进是修改了拟合轨线的网络，使用的是各阶导数组成的多项式的形式

这样看应该都是在学习PDE右边的式子